制御理論理解のつぼ

制御工学や自動制御を勉強していて「解りにくい」、「なんでやねん」、「どうやって勉強したらいいんだー」と悩んでいる方にちょっとした「理解のつぼ」（私の考え方）をお見せしたいと思います。
１．制御工学の構成
（１）制御工学はどのようなベースに基づいて作られているか？
制御工学は下図のような形では無いかと思われます。

　　　　　　　　　　　　　　　　制御工学の構成

制御工学とは、時間領域と周波数領域両方を行き来するための理論と周波数領域での計算、
判定理論だと考えています。 時間領域ではＬＣＲ（コイル、コンデンサ、抵抗）の電流計算さえ、
微分方程式という小難しい式を解かねば解が求められません。しかし、周波数領域では簡単な
四則演算で計算可能です。時間領域の解が欲しければ、逆ラプラス変換（変換表があります）を
使えばあっという間に解が求められます。とっても便利なんです。
ところが、周波数領域というのは日常なかなかお目にかかれないので、イメージを頭の中に作る
のに時間がかかるのです。難しいのではなく、実は時間がかかるんです。
唯一、周波数領域がお目にかかれるのがラジオのチューナーとイコライザーぐらいです。

と言うことは、「つぼ」＝｛周波数領域のイメージ作り」となります。　


（２）どんなイメージを頭に入れるか？
時間領域と周波数領域を行き来するのは解ったけれど、具体的にどのようなイメージが
必要なのかを考えてみましょう。

（２−１）交流理論 交流理論のイメージとは。
簡単に書くとこんなイメージです。

数式で表現すると、
　　　Ｖ＝１００sinωｔ　　（ω＝２×π×ｆ、この場合　ｆ＝５０Hz）
であり、時間軸ではｔに実際の時間を入れてその時刻における電圧Ｖの大きさを計算し、
周波数領域ではｆのところに大きさＶが存在する事を表している。
ここで、インピーダンスや電流についても考えてみよう。

（例）下図のような回路に流れる電流Ｉはいくらか。電源周波数５０Ｈｚの時計算せよ。



インピーダンスを計算すると
　　Ｚ＝Ｒ＋１／（ｊωＣ）
　　Ｚ（50Hz）＝１０＋１／（ｊ２π×５０×１０×１０^−６）
　　　　　　　＝１０−ｊ３１．８
　　　　　　　＝√（１０×１０＋３１．８×３１．８）∠tan-1 (-10/31.8)
　　　　　　　=33.3∠-17.5deg
　　Ｉ＝Ｖ／Ｚ＝１００sinωｔ／３３．３∠-17.5deg
　　　＝３．３３sinωｔ ∠17.5deg

周波数が５０Ｈｚの時には電流は上記のようになるが周波数が１００Ｈｚに変わると
流れる電流は小さくなり、位相もさらに進んでくる。 従って、各周波数に分解して
考えると「ある周波数の電圧、電流、インピーダンスがそれぞれ相互に計算できる。
時間軸でも周波数軸でも同じようにオームの法則が成り立つ。
但し、インピーダンスは周波数に依存する。
イメージで書くとこのようになる。」

このように、交流理論では時間領域と周波数領域それぞれを１つの周波数だけで考え、
相互のイメージを作る。連続の周波数領域については多くの周波数を計算してつなげ
れば計算できる。

（２−２）アナログフィルタ理論 交流理論では、周波数を変えて計算する事により、
電圧と電流の関係を計算できるようになります。では、周波数を連続的に変えた場合
どのようになるのでしょうか？。このあたりは電子回路や交流理論の延長として
アナログフィルタとして学ぶ事が多いと思います。

下図の回路が例題で良く出てきます。


ＶｉｎとＶｃの関係を求めてみるとローパスフィルタ（ＬＰＦ）になっています。
Vｃ／Vinの関係は、オームの法則で

　　　Vc＝Vin・（１／ｊωｃ）　　　／　　（Ｒ＋１／ｊωｃ）
　　　　　　　　コンデンサ　　　　　　　　全体のインピーダンス
　　　　　　　　インピ−ダンス

　　　　＝ Vin・１／（１＋ｊωｃＲ）
となります。
出力電圧Ｖｃは、入力電圧Ｖin　の　１／（１＋ｊωｃＲ）倍　になっています。

（ａ）この式で入力が直流の時はどうなるでしょうか？
ω＝２πｆですから、直流はｆ＝０Ｈｚと考えると、ｊωｃＲ＝０となり、
　　　　Ｖｃ＝Vin
となります。
入力電圧はすべて出力電圧になっています。

（ｂ）この式で入力が１５２６Ｈｚの時はどうなるでしょうか？
ｊωｃＲ＝ｊ・１となり、
　　　　Ｖｃ＝Ｖin・１／（１＋ｊ・１）
　　　　　　＝ Ｖin・１／（√２　∠４５°）…極座標表示
　　　　　　＝ Ｖin／√２　　∠−４５°（遅れ位相）

（ｃ）この式で入力が１ＧＨｚ（１０9Ｈｚ）の時はどうなるでしょうか？
ｊωｃＲ＝ｊ６２８０００となり、実数部の１はほとんど無視できるので
　　　　Ｖｃ＝Ｖin ／（６２８０００　∠９０°）
　　　　　　＝０　∠−９０°
と、周波数が高くなるとＶｃはどんどん０に近づきます。

従って、この例の回路は入力周波数が低いほど出力電圧Ｖｃは入力電圧と等しくなる。 　　　　　　　　　　　入力周波数が高いと出力電圧Ｖｃは０に等しくなる。 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　⇒ＬＯＷ　ＰＡＳＳ　ＦＩＬＴＥＲ（低域通過型フィルタ）

ここで、このＬＰＦの時間領域と周波数領域の関係を見てみる。
周波数領域では、通常出力／入力の関係を　ゲイン（倍率）で計算する。
また、実際の倍率のみでは小さくなるところ（１／１０，１／１００，１／１０００）
を表しにくいので対数を用いる。通常は　ｄＢ（デシベル）で計算し

　　　　　［ｄＢ］＝２０ｌｏｇ10（出力／入力）
で表記する。（ちなみに入力＝出力の場合、０ｄＢ）
また、周波数軸も対数にした方が表示しやすい。

（２−３）ラプラス変換
ラプラス変換と言うと微分方程式を何か難しい積分をして求めるみたいなイメージがあります。
しかし、ラプラス変換のの目的は、解を求めることが難しい微分方程式の問題を周波数軸に変換して
代数計算で求められるようにすることです。と言うことは、ラプラス変換表を使いこなせれば、
制御理論では十分だと思います。（私も変換を積分でわざわざ計算したことは少ないです）
でも、ラプラス変換の結果がなにを示しているかとか実際の回路からラプラス変換結果を交流理論
により求めることはできます。
先ほどのＬＰＦを例に微分方程式→ラプラス変換、一発ラプラス変換結果法をやってみましょう。

（例１）下図の回路の出力電圧vc(t)を微分方程式→ラプラス変換を求める。

ｉ(t)は電流とすると 微分方程式は、
　　　　　　　　　　vin(t)＝Ｒｉ(t)＋vc(t)
　　　　　　　　　　vc(t)＝１／ｃ∫ｉ(t)dt＋vc0
となるから
　　　　　　　　　　vin(t)＝ Ｒｉ(t)＋１／ｃ∫ｉ(t)dt＋vc0
両辺を整理すると
　　　　　　　　　　vin(t)−Rｉ(t)＝１／ｃ・∫ｉ(t)dt＋vc0
両辺を微分して
　　　　　　　　　　ｄ（vin(t)−Ｒｉ(t)）／dt＝１／ｃ・ｉ(t)
これを一気にラプラス変換すると
　　　　　　　　　　ｓ（ Ｖin(s)−ＲＩ(s)）+Vin(0)+RI(0)=１／ｃ・Ｉ(s)
ここで、 Vinを正弦波（sinωｔ）とすると、Vin(0)+RI(0)＝０であるから、
　　　　　　　　　　Ｖin(s)−ＲＩ(s)＝１／（ｓｃ）・Ｉ(s)
　　　　　　　　　　Ｖin(s) ＝１／（ｓｃ）・ Ｉ(s) ＋ＲＩ(s)
　　　　　　　　　　Ｖin(s) ＝（１／（ｓｃ）＋Ｒ）Ｉ(s)
　　　　　　　　　　Ｖin(s)＝（１＋ｓｃＲ）／（ｓｃ）Ｉ(s)
　　　　　　　　　　Ｖin(s)＝（１＋ｓｃＲ）・Vc(s)
出力電圧Ｖｃを求めると
　　　　　　　　　　Vc(s)＝１／（１＋ｓｃＲ）・Vin(s)
伝達関数でかくと
　　　　　　　　　　Vc(s)／Vin(s)＝１／（１＋ｓｃＲ）
となる。


（例２）下図の回路の出力電圧vc(t)を一発ラプラス変換で求める。


まず、交流理論の式から行くと、インピーダンスＲと１／（ｊωｃ）の直列で、
１／（ｊωｃ）の分圧になるから、

　　　　　　　Ｖc（ｊω）＝（１／（ｊωｃ））／（Ｒ＋１／（ｊωｃ））・Ｖin（ｊω）

右辺の分母・分子にｊωｃをかけると

　　　　　　　Ｖc（ｊω）＝１／（１＋ｊωｃＲ）・Ｖin（ｊω）

ｊωをｓとおくと
　　　　　　　Vc(s)＝１／（１＋ｓｃＲ）・Vin(s)

となり、微分方程式をたてないでも交流理論を使って、ラプラス変換結果を得ることができる。
この結果からも解るように交流理論もラプラス変換もともに周波数領域で計算するための理論なので
同じ結果が得られる。

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